運動方程式と無次元化 ― The Kuriyama Protocol 第6章
第6章を、もう一度検算する
運動方程式と無次元化 ― The Kuriyama Protocol 第6章
書籍の章ごとに公開している、その6本目です。書籍の第6章「運動方程式と無次元化」は、章別の記事を始める前に、第3弾としてすでに公開しています。この記事は、その第6章を、第6弾から第10弾までと同じやり方でもう一度検算した記録です。
第3弾では、私が20年使ってきた掛け算の式が物理的に成り立たないこと、それを7つの無次元の量（Π₁〜Π₇）で組み直したこと、そして体格が違えば同じフォームは実行できないことを書きました。この記事では、第3弾の中身は繰り返しません。もう一度数字を入れ直して見つかった3つの穴と、そこから出る3件の予測だけを書きます。
先に結論を書きます。第3弾で「現場で決めた2つの数字が、理論値と一致した」と書いたうちの1つは、一致が緩いものでした。そして Π₆（位相の合い具合）は、書籍の中で2通りの意味で使われていて、互いに食い違っていました。
- 1 第6章の要点（第3弾の再掲）
- 2 穴1：Π₆ が、2つの意味で使われていた
- 3 穴2：「時速4.8キロは最適歩行と一致」は緩い一致だった
- 4 穴3：書籍の検証ログが、本文の訂正に追いついていなかった
- 5 登録する予測（3件）
- 6 第3弾の訂正について
- 7 反証を歓迎します
- English summary／文献／作り方
1 第6章の要点（第3弾の再掲）
基準の量は、身体自身から取ります。長さは脚の長さ L、質量は体重 m、そして重力加速度 g です。
7つの無次元の量のうち、この記事で扱うのは Π₁（フルード数）と Π₆ です。残りの Π₂（体重あたりの筋力）、Π₃（腹圧による体幹の剛さ）、Π₄（可動域の足り具合）、Π₅（体格あたりの持続の資源）、Π₇（制御の規則が今の身体に合っているか）と、体格が大きいほど相対的に弱くなる二乗三乗則については、第3弾を見てください。
書籍は最後に、式の全体を次の順に並べています。情報のゲート → 構造のゲート（可動域）→ 出力 → 効率 → 持続 → 更新。このうち「効率」の層は η（Fr, Π₆）と書かれ、Fr ＝ 0.25、Π₆ ＝ 1 で効率が最大になるとされています。今回の3つの穴のうち2つは、この2つの数字に関わります。
2 穴1：Π₆ が、2つの意味で使われていた
書籍に書かれていたこと
書籍の第6章には、Π₆ について2つの記述があります。
1つ目（6-4節の検証ログ）。脚を一様な棒の振り子と見ると、固有振動数は次の式になります。
2つ目（章の最後の「式の最終構造」）。効率は η（Fr, Π₆）で決まり、Π₆ ＝ 1 で最大になる。
何が食い違っているか
1つ目の定義（一様な棒の振り子）で計算すると、人が普段の歩調で歩いているとき、Π₆ は1ではなく1.4〜1.6です。普段の歩調は、エネルギーの消費がほぼ最小になる歩調だとされています。つまり、1つ目の定義のままでは、効率が最大になるのは Π₆ ≈ 1.5 で、Π₆ ＝ 1 ではありません。2つ目の記述と合いません。
逆に、2つ目の記述（Π₆ ＝ 1 で効率が最大）を残すなら、分母の「脚の固有振動数」を、普段の歩調と一致するように定義し直す必要があります。その場合、1つ目の記述（振り子とのずれ＝筋で無理をしている量）は、そのままでは使えません。普段の歩調は「無理」ではなく「最適」だからです。
膝の曲がりで説明できるか
まず、ずれの一部が単に振り子のモデルが粗いせいではないかを確かめました。歩いている脚は棒ではなく、振り出しの途中で膝が60度ほど曲がります。膝が曲がれば振り子は短くなり、速く揺れるはずです。
どう直すか
文献には、この問題への答えの候補があります。脚を、重力で戻る振り子に、ばね（筋と腱の弾性）を足した振り子として扱うと、その自然な揺れの速さは人が好んで選ぶ歩調とよく一致し、その歩調でエネルギーの消費が最小になる、という報告です（Holt ら, 1991）。
この見方を取ると、2つの記述は次のように整理し直せます。
- Π₆ の分母は、ばねを含めた固有振動数とする。そうすれば、普段の歩調で Π₆ ≈ 1 になり、「Π₆ ＝ 1 で効率が最大」が成り立つ
- 重力だけの振り子とのずれ（約1.5倍）は、筋と腱のばねの強さを表す。これは「無理」ではなく、ばねとして使われている剛さである
- 「筋で無理をしている量」を測りたいなら、ばねを含めた固有振動数からのずれを見る。同じ速さで歩いていても、自分のばねの振動数から外れた歩調で歩いている人ほど、筋の活動が多いはずである
この整理は、第3弾の予測12（Π₆ は下肢の筋活動と正の相関を示す）にも関わります。予測12の Π₆ を重力だけの振り子で定義すると、全員がほぼ1.5前後に集まり、筋活動との相関は「ばねの強さ」を測っているだけになるおそれがあります。予測51で、分母をばねを含めた振動数にした形で書き直しました。第3弾の予測12そのものは、登録日が変わらないことに価値があるので、取り下げずに残します。
3 穴2：「時速4.8キロは最適歩行と一致」は緩い一致だった
書籍と第3弾に書いたこと
現場で目標にしてきた時速4.8キロ（秒速1.333 m）をフルード数に直すと、脚の長さ0.75〜0.9 mで Fr ＝ 0.20〜0.24 になります。書籍と第3弾は、これを「最適歩行の理論値0.25と一致する」とし、時速7キロ（Fr ＝ 0.43〜0.51）が走り出す点の理論値0.5と一致することと合わせて、「理論とは独立に決めた2つの数字が、どちらも理論値と合った」と書きました。
何が緩いか
Fr ≈ 0.25 は、動的相似の枠組みで、体の形が大きく違う動物の間でも最適な歩行が近い値に集まる、として挙げられてきた値です。ヒトについて、歩く距離あたりのエネルギーの消費が最小になる速さを測った古典的な研究では、その速さは秒速約1.23 mで、被験者が自分で選ぶ速さとも一致していました（Ralston, 1958）。
つまり、時速4.8キロが「理論値に一致した」と言えるのは、0.25を幅のある目安として扱った場合だけです。2つの一致のうち、走り出す点（0.5）の一致は残りますが、最適歩行（0.25）の一致は緩いものでした。第0.5章で「予測が当たった事例2」として数えていたこの一致は、「緩い一致」と注記を付けて数え直します。
書籍の別の主張にも影響します。書籍は「脚の長さ0.75 mの人と0.9 mの人が並んで歩けば、どちらかは必ず最適から外れている」と書いていました。これは、最適な Fr が全員に共通である限り、0.25でも0.17でも成り立ちます。この主張は残ります。変わるのは、具体的な最適速度の数字です。
現場の時速4.8キロという数字が、実際に何に合っていたのかは、別の可能性もあります。日本の不動産広告が徒歩の所要時間を分速80 m（時速4.8キロ）で計算していることを、講座でも引いていました。生活の中にある基準の速さと、ヒトが普段選ぶ速さ（多くの集計で秒速1.1〜1.65 m）の真ん中あたりにある数字だ、というのが今のところ正確な言い方です。
4 穴3：書籍の検証ログが、本文の訂正に追いついていなかった
書籍の第6章の本文は、筋の固有張力（筋の断面積あたりの力）σ を、ヒトの系統的レビューが推奨する26.8 N/cm²に固定し（Persad ら, 2024）、体重60キロの人のヒラメ筋の Π₂ を約10.5としています。第2弾と第3弾の訂正を反映した値です。
ところが、同じ章の末尾の検証ログには、古い記述が残っていました。「σ を代表値22.5 N/cm²に固定」「Π₂ の実数例は約8.8になる」。本文と検証ログで、σ の値も Π₂ の値も食い違っていました。
数字の訂正を本文には入れたのに、記録の側に入れていなかった、という誤りです。第2弾の新しい版で、引用の行に古いDOIが残っていたのと同じ種類の誤りです。書籍の検証ログを本文に合わせて直しました。訂正を入れるときは、本文だけでなく、その数字が書かれている全ての場所を探す。この手順を、作業の決まりに加えます。
5 登録する予測（3件）
第1弾から第10弾までで、48件の予測を登録しました。この記事から3件を追加します。番号は49から続けます。いずれも、この記事の公開日（2026年10月28日）に登録したものとします。
予測49 同じフルード数で歩くとき、脚の長さが違っても、身体の時間で測った歩調は同じになる
前提：Π₆ が無次元の量として働くなら、同じ Fr で歩く人どうしは、身体の時間の単位で測って同じ歩調になる（動的相似）。
測定方法：脚の長さの違う人たち（たとえば0.7〜1.0 m）に、トレッドミルで同じフルード数（たとえば0.15、0.2、0.25）になる速さで歩いてもらいます。自由に選んだ歩調を数え、身体の時間の単位に直します（歩調 × √（L ÷ g））。あわせて、重力だけの棒の振り子で計算した Π₆ を求めます。
予測：同じ Fr では、身体の時間で測った歩調は、脚の長さによらずほぼ同じになる。重力だけの振り子で計算した Π₆ は、普段の速さで、全員がほぼ1.4〜1.6の範囲に入る。
理論が分岐する点：身体の時間で測った歩調が脚の長さとともに系統的に変わるなら、Π₆ は体格によらない量としては働いていません。また、重力だけの振り子の Π₆ が普段の速さで1に近いなら、穴1の計算の前提（歩調と振り子の対応のさせ方）が誤っています。
外れた場合に何が壊れるか：Π₆ を無次元群として7つの中に置く根拠が崩れます。
予測50 ヒトの最もエネルギー効率のよい速さは、フルード数で0.25より低く、脚の長さによらない
前提：ヒトの最適歩行は、動的相似の下で共通の Fr に集まるが、その値は動物で言われてきた0.25より低い（穴2）。
測定方法：脚の長さの違う人たちに、いくつかの速さで歩いてもらい、呼気ガスで距離あたりのエネルギー消費を測ります。その消費が最小になる速さを人ごとに求め、Fr に直します。
予測：最小になる速さの Fr は、人ごとにおよそ0.15〜0.22に集まり、脚の長さとは相関しない。0.25より高い人は少数である。
理論が分岐する点：最適な速さが Fr ではなく実際の速さ（秒速）で全員ほぼ同じなら、Fr に直すと脚の長い人ほど低い値になり、脚の長さと負の相関が出ます。これは動的相似が最適歩行には当てはまらないことを意味します。
外れた場合に何が壊れるか：脚の長さと負の相関が出れば、「並んで歩けばどちらかは最適から外れる」という主張の、フルード数による根拠が崩れます（実際の速さで全員の最適が同じなら、並んで歩いても誰も外れません）。
予測51 ばねを含めた固有振動数から外れた歩調で歩く人ほど、同じ速さでの筋活動が多い
前提：筋で「無理をしている」量は、重力だけの振り子からのずれではなく、ばねを含めた自分の固有振動数からのずれに現れる（穴1）。
測定方法：脚の振り子としての性質（長さ、質量の分布）と、脚のばねの強さ（たとえば、脚を軽く揺らしたときの減衰振動や、跳躍の接地時間から推定する）を人ごとに測り、ばねを含めた固有振動数を求めます。同じフルード数で自由に歩いたときの歩調との比を Π₆ とします。下肢の筋電図を、体重と脚の長さで割った形で記録します。
予測：Π₆ が1から離れている人ほど、同じフルード数での下肢の筋活動が多い。重力だけの振り子で計算した比は、ばねを含めた比ほどには筋活動を予測しない。
理論が分岐する点：重力だけの振り子からのずれの方が筋活動をよく予測するなら、書籍の元の解釈（振り子からのずれ＝筋の無理）の方が正しく、ばねを含めた定義は不要です。
外れた場合に何が壊れるか：どちらの比も筋活動を予測しなければ、Π₆ を「筋でどれだけ無理をしているか」の指標として使う根拠がなくなります。第3弾の予測12と合わせて読む予測です。
6 第3弾の訂正について
穴1と穴2は、公開済みの第3弾の記述にも当てはまります。第3弾の5節「現場で決めた2つの数字が、理論値と一致した」のうち、最適歩行の一致は緩いものでした。また、第3弾の Π₆ の説明は、書籍と同じく重力だけの振り子を分母にしていました。
この記事は、その訂正の記録として公開します。第3弾の本文は、Zenodo の新しいバージョンとして別に直します。古い版は残し、訂正前と訂正後の両方を読める形にします。第3弾で登録した予測9〜12の内容と登録日（2026年10月21日）は変えません。
7 反証を歓迎します
穴1の整理（Π₆ の分母を、ばねを含めた振動数にする）は、文献の候補を見つけた段階で、私自身はまだ測っていません。歩行の力学に詳しい方から見て、より適切な定義があれば教えてください。脚のばねの強さを現場で簡単に推定する方法があれば、予測51はずっと測りやすくなります。
穴2で使った Ralston（1958）の値は、古典的な研究の値で、その後の研究では、エネルギーの数え方（安静時の消費を引くかどうか）で最適な速さが変わることが報告されています。0.15〜0.22 という範囲は、その幅を含めた見積もりです。
私は研究の作法を正式に学んだ人間ではありません。24年間、現場で観察と試行を続けてきただけです。誤りがあれば、新しいバージョンで直します。訂正前の版も、参照できる形で残します。
連絡先：contact@medi-gym-revital.com
引用：栗山智光（2026）「第6章を、もう一度検算する ― 運動方程式と無次元化」The Kuriyama Protocol 記事第11弾（第6章）. DOI: 10.5281/zenodo.23720048
English summary
Rechecking Chapter 6: Equations of Motion and Dimensionless Groups (The Kuriyama Protocol, Chapter 6)
Chiaki Kuriyama, Human Concierge Association (Japan)
Published 2026-10-28 · DOI: 10.5281/zenodo.23720048 · Contact: contact@medi-gym-revital.com
Part 11 of a series; the sixth of fifteen chapter-by-chapter articles. Parts 1–10: 10.5281/zenodo.23587879 · 23587670 · 23526074 · 23609857 · 23610607 · 23682055 · 23684537 · 23684996 · 23685960 · 23686289
Abstract
Chapter 6 of the book (dimensionless reformulation with seven groups Π₁–Π₇, body-derived reference scales L, m, g, and the infeasibility of uniform form instruction) was published earlier as Part 3. This article re-audits it with the procedure used in Parts 6–10 and reports three gaps.
(1) Π₆ was used in two inconsistent senses. The book defines the denominator as the natural frequency of a uniform rigid-rod leg, (1/2π)√(3g/2L) — about 77 steps/min for L = 0.9 m — and interprets the 1.4–1.6× excess of natural cadence (110–120 steps/min) as active muscle effort; yet its final structure places the efficiency peak at Π₆ = 1. Since preferred cadence is near energy-optimal, the rigid-rod definition puts the peak near 1.5, not 1. A segmental calculation with standard anthropometry shows that knee flexion during swing shortens the pendulum period by only ≈5% (1.53 s at 0°, 1.45 s at 60°), because inertia and the gravitational moment arm shrink together; the gap is not geometric. Following the force-driven harmonic oscillator view, in which adding a musculotendinous spring makes the natural frequency match preferred cadence (Holt et al., 1991), Π₆'s denominator is redefined to include the spring. The rigid-pendulum excess then measures spring stiffness, and "excess effort" is the deviation from the person's own spring-inclusive frequency. Part 3's Prediction 12 is kept unchanged; a restated version is registered as P51.
(2) The "4.8 km/h matches the optimal Froude number 0.25" agreement is loose. Human minimum-cost-of-transport speed is ≈1.23 m/s (Ralston, 1958), i.e. Fr ≈ 0.17–0.21 for leg lengths 0.9–0.75 m, below the 0.25 often cited across animals. The book's "optimal 1.49 m/s for L = 0.9 m" was back-calculated from 0.25. The walk–run transition agreement (Fr ≈ 0.5) stands. (3) The chapter's verification log still carried the superseded σ = 22.5 N/cm² and Π₂ ≈ 8.8 after the body text had been corrected to 26.8 N/cm² (Persad et al., 2024) and 10.5; the log is corrected, and "search every location of a corrected number" is added to the workflow.
Registered predictions (P49–P51)
P49. At matched Froude number, cadence in body-time units (cadence × √(L/g)) is independent of leg length, and the rigid-pendulum Π₆ at preferred speed falls in 1.4–1.6 for everyone.
P50. Each person's minimum-cost walking speed, expressed as Fr, clusters around 0.15–0.22 and does not correlate with leg length; few exceed 0.25.
P51. Deviation of preferred cadence from the person's spring-inclusive natural frequency predicts normalized lower-limb EMG at matched Fr better than deviation from the rigid-pendulum frequency.
Corrections to Part 3 and request
Part 3's statement that two field numbers independently matched theory is weakened to one firm and one loose match, and its Π₆ definition is superseded. Part 3 will be revised as a new Zenodo version with the earlier version retained; its predictions and registration date (2026-10-21) are unchanged. Refutations are welcome, particularly on the definition of Π₆ and on practical field estimates of leg stiffness.
文献
| 項目 | 書誌 |
|---|---|
| ばねを含めた振り子と歩行 | Holt KG, Hamill J, Andres RO (1991). Predicting the minimal energy costs of human walking. Medicine & Science in Sports & Exercise, 23(4), 491-498. |
| ヒトの筋の固有張力 | Persad LS, Wang Z, Pino PA, Binder-Markey BI, Kaufman KR, Lieber RL (2024). Specific tension of human muscle in vivo: a systematic review. Journal of Applied Physiology, 137(4), 945-962. |
| 最適な歩行速度 | Ralston HJ (1958). Energy-speed relation and optimal speed during level walking. Internationale Zeitschrift für angewandte Physiologie einschließlich Arbeitsphysiologie, 17(4), 277-283. |
第3弾で引いた文献（Alexander & Jayes, 1983／Minetti, 2001／Leurs ら, 2011／Fukunaga ら, 1992 ほか）は、第3弾の文献表を見てください。
この記事の作り方について
この記事は、すでに公開した章（第3弾）の再検算なので、6段の形（主張・観察・導出・照合・判定・予測）ではなく、見つかった穴ごとに書いています。
穴1の振り子の周期は、太もも・すね・足の長さ、質量、重心の位置、回りにくさを、身長と体重に対する標準的な割合で置いて計算しました。Ralston（1958）の値は二次資料（百科事典の記事）で確かめ、原本では確かめていません。Holt ら（1991）の巻と頁は二次文献によるものです。
ライセンス：CC BY 4.0。出典を示していただければ、自由に使っていただけます。
